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Análisis Matemático 66
2024
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
4.
Decida cuáles de las siguientes sucesiones son monótonas crecientes, monótonas decrecientes y cuáles de ellas no tienen ninguna propiedad de monotonía.
IV) $d_{n}=n-\frac{1}{n}$
IV) $d_{n}=n-\frac{1}{n}$
Respuesta
De nuevo, planteemos una relación entre $d_n$ y $d_{n+1}$ y veamos qué nos dicen las ecuaciones. Por ejemplo, si planteamos que $d_{n+1} \geq d_n $ nos queda:
$n + 1 - \frac{1}{n+1} \geq n - \frac{1}{n} $
$ 1 - \frac{1}{n+1} \geq - \frac{1}{n} $
Escribimos lo de la izquierda como una única fracción:
$ \frac{n}{n+1} \geq - \frac{1}{n} $
Y esta relación se cumple para cualquier $n$, es decir, $\frac{n}{n+1}$ siempre va a ser mayor a algo negativo, se entiende? Por lo tanto esta función es monótona creciente.
Aclaración importante: Se que varixs deben estar haciéndose la pregunta, che, pero qué hubiera pasado si planteaba la relación al revés, o sea $d_{n+1} \leq d_n $. Bueno, en ese caso hubieras llegado a la relación contraria y te hubieras dado cuenta que no se cumplia para ningún $n$, en el parcial ahí entonces recalculas y planteás la relación contraria y listo ;)